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肖年红博客:心安乐处,便是身安乐处。

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如何計算投資報酬率?(转载)  

2009-02-21 18:13:45|  分类: 投资札记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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五月 19, 2008

如何計算投資報酬率?(1)

我們通常藉由觀察結果來擬定或調整我們做事的方法或策略。在投資理財領域,投資報酬率就是結果。但許多投資人--包含許多投資老手--常會錯誤地引用或計算投資報酬率,以致得到錯誤的結論,從而做出錯誤的理財投資決策。

除非你家浴室裝了可自動調控溫度的恆溫水龍頭,否則一定有類似這種的經驗:冬天洗澡時,常會為了調節水溫而傷腦筋。水剛出來時,由於水管是冷的,水溫要好一陣子才能熱起來,所以我們直覺地會把熱水出水量開到最大。過一陣子水管熱了,水溫卻太高了,於是我們把熱水出水量減少而增加冷水出水量。隔會兒卻又太冷了,於是再把熱水出水量加大,減少冷水。等一下子發覺又太燙了。如此週而復始,總要折騰一陣子才能把水溫調到剛好。如果我們剛從寒冷的外頭進入浴室,由於身體很冷,通常會用較高的水溫才能使身體感覺溫暖,但很可能因溫度太高而傷了敏感部位的皮膚。

前面的例子說明我們是依據結果(感覺到的水溫)來做決策(調整冷熱水的出水量)。但有可能因為錯誤的資訊(以過冷的身體來感覺水溫),以致做出錯誤的決策(立即調大熱水出水量)。

投資決策也是一樣。投資決策的結果就是投資報酬率。如果我們對投資報酬率計算錯誤或做出錯誤的解讀,投資人可能會對他(她)的投資決策模式有了錯誤的評估。下面隨手可以列出我們常碰到或聽到關於報酬率的說法:

  1. 我最近三個月在某某股票上賺了45%。
  2. 我去年底買的新房子每坪花了四十二萬元,最近建商賣到五十二萬元,才半年就漲了近24%,相當於一年報酬率為48%,比股票好太多了。

前述的說法顯示對當事人來說,投資決策的結果--也就報酬率--帶來了值得高興的正面回饋,表示他(她)必定做了某些正確的事。這通常也給了該投資人一種暗示:只要重複那些正確的事就可得到類似的結果。也正因如此,我們常依據類似的回饋來做投資理財的決策。可是,在很多時候,這些看似令人激動的回饋背後卻隱藏著讓人防不勝防的思考陷阱。

例如說,前面的第一種說法,該投資人可能因為根據某種技術分析(或甚至是價值投資概念)而據以買進某支股票,三個月後報酬率為45%。太棒了,不是嗎?照此下去,不出數年就要發大財了。所以該名投資人可能就認定技術分析很有用而深信不疑,下次還是根據相同的方法買進股票。同樣地,根據第二種說法,該投資人很可能因而認為投資房地產才是通往致富的捷徑,決定把大部分資金拿去買房子。這些都是以投資報酬率的數字影響其投資決策的例子。

談到報酬率,大家都知道如果買進價格為100元、賣出價格為150元,則報酬率為50%。這是簡單的算術,只要能加減乘除就會計算。但是光講報酬率而沒有引進時間因素就失去了報酬率的本質。前述的50%報酬率如果是半年內或甚至一年內賺得都會讓別人羨慕不已;但如果是五年才賺得50%,可就一點也不令人興奮了。因此凡是談到投資報酬率,必定要與時間扯上關係。如果你談報酬率而忘了時間因素,那麼該報酬率的數字不僅失去做為衡量的資訊價值,並且很可能誤導了投資決策。這是關於報酬率思考常碰到的第一個陷阱。雖然點明後誰都能明白,但還是有許多人常不經意地就掉了進去。

即使投資人能夠避開第一個陷阱,卻經常不自覺地掉入另一個。另一個關於報酬率的思考陷阱就是見樹不見林。此話怎講?無論是買股票或買房子,我們通常習慣用單一投資個案來談報酬率。譬如說,我兩個月前買進甲股票,今天逢高出脫獲利了結,算算報酬率為35%,因而心中沾沾自喜;或是五個月前買進乙股票,到今天卻虧損30%,心中便悶悶不樂。此種以個案為基礎的思考方式使投資人傾向於急著獲利了結或換股操作,因而做了過多的投資活動---意即頻繁進出股市。但別忘了巴菲特的忠告:投資活動並不等同於投資績效。他說:

In allocating capital, activity does not correlate with achievement. Indeed, in the fields of investments and acquisitions, frenetic behavior is often counterproductive.

單一個案的亮麗投資報酬率雖然讓人心情激動,但如同前面所說的短期報酬率一樣,只是一個漂亮的思考陷阱。透過接下來所舉的一些例子便可明白這話是什麼意思。

六月 16, 2008

如何計算投資報酬率?(2)

某甲受到傳統理財觀念的影響,一直認為房地產是最佳的投資保值之道。在1984年初,他碰巧在台灣房價大漲初期在台北市東區以450萬元買了一間公寓五樓約35坪的房子,隔兩三年後房價幾乎漲了一倍。自此他對房子的投資保值信念更加堅定。於是在1988年又以1500萬元買下第二間52坪的公寓六樓的房子。因他認為房產是最穩當的長期投資,所以一直沒賣。現在同區的老公寓住宅的行情大約為每坪55萬元,某甲認為房價還會漲,對於房產增值的信心也未改變。你認為某甲的投資決策如何?

經詢問,某甲並未仔細算過該兩投資決策的報酬率。第一筆投資增值了4.3倍,第二筆投資增值了1.9倍。乍看之下還不錯。但第一筆投資已經過了24年,第二筆投資也有20年了。如果換算成長期年複利報酬率,第一筆投資約為6.2%,第二筆投資約為3.3%。這還是稅前的數字。同期間的股市大盤指數報酬率分別約為10.2%(1984(800)~2008(8200))、2.0%(1988(5500)~2008(8200))。

當筆者把前述計算結果拿給某甲看時,他感到驚詫不已,他沒想到房產長期下來的報酬率居然這麼低。顯然地,他一直用原始印象中的報酬率做為他投資決策的基準,而且中間一直沒有重新審視過報酬率的變化。這是以單一投資個案的報酬率做為投資決策基準的例子,是前述關於報酬率的第一個思考陷阱。某甲想到投資報酬率時未考慮投資的時間長度,這種陷阱看似有點匪夷所思,但一般人在考慮投資房子卻不經意地常犯這個錯誤。

再舉一個例子。某乙於2004年買進鴻海(2371)、2007年賣出,其間大約增值了55%,年複利報酬約15.5%,替他賺進了約180萬元。他為此沾沾自喜,認為時機拿捏精準。可是經過詢問,如計算全部股票的投資組合,該期間的報酬率僅約9%。再進一步詢問得知,某乙的大部份資產卻投資在房地產如公寓辦公室等,而且都是十幾二十年的長期投資,股票部份只約占總投資資產金額的2%。雖然他以投資資產的2%的相對高報酬率激動不已,卻讓其他98%的資產躺在房產上賺取僅僅3~4%的年複利報酬率。當筆者給他看這些數字時,他感到很驚訝,一下子還無法接受這個事實。這是前述所提的第二個關於報酬率的思考陷阱:見樹不見林。

前面所提的主要是觀念上的陷阱。但如要真正了解報酬率,簡單的數學運算還是少不了。接下來我們要做些關於報酬率的計算,簡單的、不是複雜的。

假設某丙的一筆長期投資組合從2002年初持有到2008年末,每年度的投資報酬率分別為9%, 3%, 14%, -5%, 7%, 18%, -9%。請問此投資組合的長期平均報酬率是多少?

有兩種計算「平均數」的算法。有些投資人的算法如下:

平均報酬率=(9%+3%+14%-5%+7%+18%-9%)÷7=5.3%

上面算法的結果叫做「算數平均數」。此種算數平均並不適合用來計算平均報酬率,因此是錯的。正確的計算方法如下:

平均報酬率=[(1+9%)*(1+3%)*(1+14%)*(1-5%)*(1+7%)*(1+18%)*(1-9%)]^(1/7)-1

=4.9% (註:^代表乘方。例如5^3=5*5*5,3^(1/2)=√3,3^(1/7)=3的七次方根。)

上面公式計算出來的平均叫做「幾何平均數」。用掌上型財務計算機或試算表都可以很容易求出報酬率的幾何平均數。一般所謂的「年複利平均報酬率」指的就是報酬率的幾何平均數,而非算數平均數。

也許有人會說,前面的例子中兩個平均數差別不大,因此用算數平均數來做為幾何平均數的近似值也未嘗不可。這話倒也說對了一半,因為如果所有年度的報酬率都為正值且差異不大時,可以用算數平均數來作為幾何平均數的近似值。例如:11%,12%,9%,14%,13%,10%,11%七個數字的算術平均數=11.43%,幾何平均數=11.41%,兩者幾乎相同。

但看看這個例子:-50%, 65%, -45%, 55%四個數字的算術平均數=6.25%,幾何平均數=-2.63%,兩者就差很多了。主要的原因在於,如果第一年虧損50%,第二年要有100%的報酬率才能打平。例如投資100萬元,第一年末虧損50%,只剩下50萬元,第二年勢必得賺50萬元---亦即報酬率100%---才能回本。如果用算數平均數的算法,平均報酬率=(-50%+100%)÷2=25%,計算結果顯然是錯的。如果用幾何平均數的算法,平均報酬率=[(1-50%)*(1+100%)]^(1/2)-1=0%,沒賺沒虧、正好打平,這結果才是對的。

六月 26, 2008

如何計算投資報酬率?(3)

前面所提報酬率的例子都是從買進到最後賣出之間沒有資金的進出,所以計算起來就很單純。但實際上很少投資人會如此做,中間通常會加入資金買進股票,或賣出股票獲利了結。即使是定期定額投資法(Dollars-Cost Averaging)也是有不斷的資金加入。此時要如何計算年複利平均投資報酬率呢?

例如,張小姐利用定期定額投資市場指數基金,每年一月份都會投資一筆錢購買相同的指數型基金,迄今已有十二年。她投資的情形如下:

年份

投資金額(萬元)

賣出求現(萬元)

1997

15

1998

18

1999

20

2000

15

2001

25

2002

20

30

2003

15

2004

22

2005

10

20

2006

30

2007

25

2008

30

目前市值:478萬元

請問:張小姐的年複利平均報酬率是多少呢?

這問題的答案可就沒有像前面所舉的例子那麼容易計算了。有些投資人會用直覺的算法來計算報酬率:報酬率=產出/投入-1。投入=所有投入的金額=245萬元,產出=賣出求現金額+目前市值=50+478=528萬元,所以報酬率=528/245-1=115.5%。

可能有讀者已經看出這種計算方法有些不對勁。首先,此算法無法告訴我們年複利平均報酬率是多少,因為沒有考慮到時間的因素;其次,即使想加入時間因素,但要算多長的時間呢?這些讀者的疑慮是正確的。像這種牽涉多個時點的投資報酬率的計算會比較複雜,但觀念上還是很單純的。舉個簡單的例子大家就會明白。

假如從第一年初你拿出100萬元買進一個投資組合,然後第三年初你又拿出50萬元買進另一個投資組合,現在是第五個年頭快結束了,你發現第一個與第二個投資組合的市值分別為180萬元與65萬元。按照正確的計算方法,你可以很快地計算出個別的平均年複利報酬率:

投資組合一的報酬率=(180÷100)^(1/5)-1=12.5%

投資組合二的報酬率=(65÷50)^(1/3)-1=9.1%

但對你而言分開計算雖然容易,但沒有意義,因為你想知道的是整體的長期平均年複利報酬率是多少,也就是說,把投資組合一跟投資組合二合併起來計算的年平均報酬率是多少。

顯然地,把兩者分別的報酬率相加後再除以二是錯誤的,因為兩個投資組合大小不同,期間長短也相異;即使用投資組合的金額加權,其加權平均數也是不對勁,因為不僅權值難以決定(註一),時間點也不同。那到底要如何計算才是正確呢?

我們可以這樣想,想像存在著一個報酬率X%,這個報酬率會使得第一年初的100萬元加上第三年初的50萬元到第五年末變成了245萬元(=180+65),寫成數學等式就是如此:

100*(1+X%)^5+50*(1+X%)^3=245

那麼這個報酬率X%就是包含兩個投資組合的整體長期平均年複利報酬率。如果第四年初因另有需要而賣股變現獲得30萬元現金,這種情況又該如何計算呢?觀念相同,不過這次要把30萬元現金換算成現在的價值後再加到投資組合的總市值裡。所以總市值就不僅僅是245萬元,而是要加上30萬元的現在價值。因為如果30萬元還留在投資組合的話,到第五年末就變成:(30萬元)* (1+X%)^2。寫成數學等式就如下:

100*(1+X%)^5+50*(1+X%)^3=245+30*(1+X%)^2

我們注意到,上面式子等號的左邊是我們付出去(流出口袋)的現金,等號右邊是可以流入口袋的現金(如果獲利了結的話)。因此我們可以從上面的等式來解釋在多時點資金流入或流出的情況下,整體的年複利平均投資報酬率X%就是使流出資金的現值(Present Value)等於流入資金現值時的報酬率。這就是所謂的IRR(內部報酬率,Internal Rate of Return)的概念,只不過IRR通常用來計算“未來的”預期報酬率,而我們前面所描述的是計算“過去”已經發生的報酬率。

一般教科書上的定義是,內部報酬率是指能使所有現金流量淨現值剛好為零之折現率,亦即使所有現金流入的現值等於所有現金流出的現值時的折現率。這個定義常讓人覺得像丈二金剛摸不著頭腦,無法真正理解為何如此。如果你把這個折現率看做是年複利平均報酬率的話,就會恍然大悟了。因為如果用年複利平均報酬率當折現率,那麼所有未來淨現金流入(獲利)的現值自然會等於現在的淨現金流出(投資)。(啥!? #@$%&^*)

很多人無法理解IRR為何可以用來計算過去的報酬率,因為計算過去的報酬率時,現值是指把過去的金錢價值經由年複利平均報酬率(已發生的報酬率)換算成現在的價值,而非把未來現金流量經由折現率(預期的內部報酬率)折現為現值。計算未來預期的內部報酬率時,我們把未來預期的現金流入或流出全部折現成現值,所以用“折現率”這個字眼。我們借用相同的概念來計算已經發生的「年複利平均報酬率」,雖然不用「折現率」這個字眼,但數學上意思完全相同,計算公式也是完全相同。在Excel裡的函數IRR在兩個情況都可用。

如果把前面的方法應用於張小姐的定期定額投資,她的年複利平均報酬率可用類似的等式求出。但因為用這種數學等式來求年複利平均報酬率要解複雜的方程式,沒有實用價值。感謝科技的發明,幸好有現成的各種試算表程式可用讓這種計算變得輕而易舉。(註:用掌上型財務計算機也可求IRR,但輸入資料時很囉唆,不如試算表好用。)

沿用前面的例子,接下來讓我們看看實際上如何利用Excel函數IRR求年複利平均報酬率。

註一:如果用投資組合的期末市值做為權值,則加權平均報酬率=(12.5%*180+9.1%*65)/(180+65);如果用投資組合的期初市值做為權值,則加權平均報酬率=(12.5%*100+9.1%*50)/(100+50);或用投資組合期末期初的平均值?

七月 08, 2008

如何計算投資報酬率?(4)

現在我們把前述張小姐每年的定期定額投資數字輸入Excel,如圖一所示。我們先暫時忽略她在中間兩次賣出求現的現金流入,並假設年底市值應該和目前市值差不多(跑短線的不可如此假設,價值投資應該可以)。請注意,2008年底的市值(478)擺在2009年初的儲存格位置,而非2008年的儲存格位置。計算出來的年複利平均報酬率(即IRR)為10.6%。要注意的是,用試算表求IRR時,金錢流出口袋要在數字前加個負號(-),表示掏錢出來投資;賣出求現時(不管是獲利或虧損)為金錢流入口袋,數字為正(+)。市值表示可以入袋的現金數字,因此為正值。請參看圖一,IRR的計算結果在儲存格B15,試算表右上方即是B15的Excel函數(=IRR(B2:B14,0.01))(標明紅色部分)。

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如果把中間2002、2005兩年的賣出求現金額加入計算,假設兩次都在年初賣出,那麼2002、2005兩年度的金錢淨流入分別為(30-20)、(20-10),恰巧都是10萬元(圖二標示黃色部分)。如再假設年底市值應該和目前市值差不多,那麼可算出年複利平均報酬率(即IRR)為13.6%(參看圖二),比前述忽略兩次賣出求現的情況多了整整三個百分點。

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也許有人會問,現在才2008年七月,用年底的假設市值來計算報酬率是否妥當?如果兩次賣出時間是在年中,那麼該放在這一年初還是下一年初呢?是否應該以半年為一期計算呢?

理論上,以半年為一期來計算會更“精確”(Precise)些,因為由時間所引起的誤差較小(注意:更精確並不表示更正確(Accurate))。所以我們來看看以半年為一期的算法與結果。如圖三,報酬率計算基礎改為半年一期,並假設兩次賣出時間都在下半年。請注意,當前市值(478)的位置是放在2008下半年初而非年底的儲存格,如果是年底就會出現在2009年上半年的儲存格了。

如圖三所示,以半年為一期計算出來的“半年”複利平均報酬率為7.0%,那麼以一年為計算基礎的“年”複利平均報酬率就是14%囉!錯!年度化(Annualized)後的年複利平均報酬率為14.5%(=(1+7%)×(1+7%))。不過要小心,年度化投資報酬率(Annualized Rate of Return)是很危險的概念,對任何基金提到的年度化報酬率都應提高警覺。後面會提到,此處暫表不提。

(可按圖放大)

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以半年為期的年複利平均報酬率14.5%比前面以一年為期計算的13.6%(圖二)好得太多了,整整多出了0.9%。為何會如此呢?

七月 21, 2008

如何計算投資報酬率?(五)

以半年為一期的年複利平均報酬率比以一年為期的高,其原因在於最後幾次的計算時間變短許多,年化(Annulaized)後的報酬率自然因而提高了。如果我們把市值478萬元放在年底而非年中,如圖四所示,那麼算出來的半年平均複利報酬率約為6.5%,年化後的報酬率就約等於13.4%(=1.065x1.065-1),和圖二的13.6%(以一年為一期)就很接近了。

圖四:假設市值478萬元放在年底的報酬率

(按圖放大)

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當然,我們也可以用月做為一期,先求出月複利平均報酬率,然後再計算出年化後的報酬率。或是更誇張地用日為一期求出日複利平均報酬率,然後再計算出年化後的數字。這樣下來雖然時間所引起的誤差變小了,卻增加了非常多的試算表輸入工作,而所改善的精確度對我們的需要而言也非必要,因為我們只要約略的數字即可。所以一般來說,用IRR計算整年度的(不要在年中計算)年複利平均報酬率以年度為期基本上也夠用了。

即便如此,用IRR時還是需要判斷現金流入或流出究竟該擺在期初還是期末(亦即下期出),而且在用試算表的IRR函數時,沒有流進流出的年度必須輸入零,不能空白,總是麻煩。是否有更好的方法呢?

幸運的是還真的有。從Excel 2003開始,試算表多出了XIRR這個函數。(啥!?你剛好沒有Excel 2003,只有Excel 2002?沒關係,請下載免費又好用的中文OpenOffice。) XIRR函數與IRR的概念相同,不過你再也不用費心去想說該是以年為期好,還是以半年或月為一期好?或是該擺在年頭還是年尾?只要把現金流出或流入的金額連同日期一並輸入試算表,沒有現金流出或流入的日子完全可以不管它,剩下的就交給函數去幫你計算了。夠酷吧?

現在用實例說明XIRR的用法。沿用前面張小姐的例子,圖五是用OpenOffice的Calc試算表函數XIRR(紅色框部分)計算年複利平均報酬率。注意,除金額外也要輸入日期,並且日期要按先後次序排列。此圖中我們假設是在七月時(年中)計算,故市值478萬元的日期為2008/7/8,計算出得年複利平均報酬率為14.59%,與圖三(年中計算)得到的年化後報酬率14.5%只差一點點。

圖五:用XIRR函數求報酬率

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如在年底計算又如何?如圖六所示,假使我們把市值478萬元放在年底,得出的報酬率為13.64%,和圖四以半年為一期且市值放在年底時的報酬率13.4%也相當接近,和圖二以一年為期且在年底時計算的報酬率13.6%相差無幾。

圖六:把市值478萬元放在年底時的報酬率

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由前面的所有計算結果看出,若以投資人的需要來看,不管用IRR函數還是XIRR函數,得出的結果都在可用的範圍內,但XIRR函數用起來簡單方便太多了。

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